Guia de Matemáticas

Guía de Matemáticas 

1. La ley de gravitación de Newton establece que la fuerza de atracción entre dos cuerpos es directamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Si una masa aumenta un 15% y la distancia entre las masas disminuye 15%, calcular el porcentaje de cambio en la otra masa para que la fuerza de atracción tenga un aumento de un 15%.

2. ¿Cuales son los tipos principales de razonamiento matemático que existen? Simbólico, visual, álgebra geometría, numero, forma, signos y diagramas.

3. ¿Que es un numero? Representación simbólica, abstracta de la cantidad.

4. ¿Que es una forma? Son aquellos que tienen extensión.

5. ¿En que se diferencia un numero de una forma? Que las formas tienen extensiones y los números no

6. ¿Quien empleo por primera vez de manera sistemática el uso de diagramas? Euclides

7. ¿Quien fue el matemático griego que inspiro a Euclides? Pitagoras de Samos

8. ¿Cuales son algunas aportaciones de la filosofía pitagórica a la ciencia y el arte? la propulso áurea, teoría de los números. 

9. ¿Que es una demostración?  Razonamiento que deduce la verdad de una proposición partiendo de los axiomas que se han enunciado. 

10. Demuestra que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º. 
https://www.youtube.com/watch?v=10H1Un7plDE

11. Demuestra el teorema de Pitagoras.
https://www.youtube.com/watch?v=-HCmRnmu3E0

12. Demuestra que hay infinitos números primos.
https://www.youtube.com/watch?v=CB1C0kGPQuE

13. En la figura, ABCD es un rectángulo y PQRS es un cuadrado. El area sombreada es la mitad del area del rectángulo ABCD. ¿Cual es la longitud de PX?

14 ¿Que filosofo griego grabo en la entrada de la Academia la frase: que no entre quien no sepa geometría? Platon

15. Describe la trayectoria de una bola de billar en la figura

16. ¿Como funciona la escala musical pitagórica?

17. ¿Que es el razonamiento deductivo? Método de razonamiento que va de lo general a lo particular.

18. ¿Que es el razonamiento inductivo? Método de razonamiento que va de lo particular a lo general.

19. Escribe un ejemplo de inducción lógica. Mi auto esta hecho de hierro, el auto de Luis esta hecho de hierro, entonces… todos los autos están hechos de hierro.

20. Escribe un ejemplo de deducción lógica. Todos los seres humanos son mortales, el profesor es humano, entonces… el profesor es mortal.

21. ¿En que consiste el silogismo llamado modus ponens? Regla de inferencia formulada en la tautología [(p-->q)&q]-->q. También llamada modus ponendo ponens (afirmando afirma). Es la más usada en solución de problemas, por tener un valor predictivo y de descubrimiento: si sabemos que p-->q es verdadera (teorema conocido) y descubrimos que se cumple p (por ejemplo, a partir de los datos), podemos concluir q. Ejemplo: de los datos descubrimos que un segmento "es paralela a la base y pasa por el punto medio de un lado del triángulo" (descubrimos que p se cumple), entonces podemos concluir que "pasa por el punto medio del otro lado" apelando al teorema de la línea media.

22. ¿En que consiste el silogismo llamado modus tollens? es una forma de argumento válida y una regla de inferencia. Los primeros en declarar explícitamente la forma de argumento modus tollens fueron los estoicos. La regla de inferencia modus tollens, también conocida como la ley de la contraposición, valida la forma de inferencia  implica  y la contradictoria de , a la contradictoria de . La regla modus tollens se puede afirmar formalmente como:

donde  significa "P implica Q",  significa "no es el caso de que Q" (o en resumen "no Q"). Entonces, cada vez "" y "" cada una parece por sí mismas como una línea de una prueba, "" se puede colocar válidamente en una línea posterior.  El modus tollens está estrechamente relacionado con el modus ponens. Hay dos formas similares, pero no válidas, de argumento: afirmación del consecuente y negación del antecedente.

23. Analiza las siguientes premisas y escribe la conclusión que deduzcas:

(a)  todos los hombres son imperfectos y el maestro de matemáticas es hombre, entonces…el maestro de matemáticas es imperfecto.
(b)  Los planetas carecen de luz propia. Venus es un planeta. Por lo tanto, Venus carece de luz propia.
(c)  Si todos los X son Y y todos los Z son X, entonces… todos los Y son Z.
(d)  Todos los hombres son mortales. Un dictador es un hombre. Por lo tanto, el dictador es mortal
(e)  Ningún cuadrilátero es triangulo. El rombo es un cuadrilátero. Por lo tanto, el rombo no es un triángulo.
(f)  Si todos los elementos de A pertenecen a B y todo elemento de B es un elemento de C, entonces… B y C pertenecen a A.

24. ¿En que consiste la falacia de la afirmación del consecuente? Se produce cuando en un argumento condicional se concluye afirmando el consecuente. Por ejemplo:

Si alguien es madrileño, entonces es español.
El Cid es español.
Luego, es madrileño.
En esquema:
Si A, entonces B.
X es B.
Luego, X es A.
Olvida esta falacia que B puede ser consecuencia de otras cosas distintas de A.
Si alguien toma cianuro se morirá.
La abuela se ha muerto,
Luego, ha tomado cianuro.
El consecuente forma una condición necesaria. Si falta (si la negamos) podemos negar el antecedente: Si no se ha muerto es seguro que no ha tomado cianuro. Por el contrario, si la afirmamos, no podemos extraer ninguna conclusión porque no es una condición suficiente: puede haber muerto de otras muchas maneras.

25. Escribe 5 ejemplos donde se muestre la falacia de la afirmación del consecuente.    
a) Todo alumno de bachillerato carece de titulo. Jose carece de titulo profesional. Jose no tiene titulo profesional por lo tanto no esta en bachillerato.
b) Todo niño es juguetón. Benito es juguetón. Benito es un niño.
c) Todo automóvil tiene ruedas. El aeroplano tiene ruedas. El aeroplano es un automóvil.
d) Todo paralelogramo es cuadrilátero. El trapecio es un cuadrilátero. El trapecio es un paralelogramo.
d) Ningún ave tiene dientes. El oso hormiguero no tiene dientes. El oso hormiguero no es un ave.                      

26. ¿Para que sirve la lógica? Para explicar fenómenos de la vida cotidiana basándose en la razón como principal participante en este proceso.

27. ¿Que es un axioma? verdades incuestionables universalmente válidas y evidentes, que se utilizan a menudo como principios en la construcción de una teoría o como base para una argumentación.

28. Escribe tres ejemplos de axiomas matemáticos.
a) El espacio tiene infinitos puntos, rectas y planos.

b) El plano tiene infinitos puntos y rectas.                                                                                        c) La recta tiene infinitos puntos.

29. ¿Que es un postulado? Proposición que se toma como base para un razonamiento o demostración cuya verdad se admite sin pruebas.

30. Escribe tres ejemplos de postulados matemáticos?
1. - Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hasta otro. 
2. - Una recta finita puede prolongarse continuamente y hacerse una recta ilimitada o indefinida. 
3. - Una circunferencia puede describirse con un centro y una distancia. 

31. ¿Que es un teorema? Afirmación que se hace dentro de un sistema lógico y que puede ser demostrado a partir de los axiomas.


32. Escribe tres ejemplos de teoremas matemáticos? Primer sistema de tales, Teorema de pitagoras, Teorema de Euler.

33. Traza con regla y compás las siguientes figuras geométricas (a) Una perpendicular a un segmento dado. 
(a) Una perpendicular a un segmento dado
https://www.youtube.com/watch?v=eTqre7kbQKE
(b) Un angulo de 60◦ 
https://www.youtube.com/watch?v=PC-piZFTcdA
(c) Un angulo de 30◦
https://www.youtube.com/watch?v=PC-piZFTcdA
(d) Un angulo de 45◦
https://www.youtube.com/watch?v=RH-TBC6RbVw
(e) Una línea paralela a una recta dada. 
https://www.youtube.com/watch?v=nosS8NBU19A
(f) Un triángulo de 3, 4 y 5 cm.

(g) Un hexágono de lado 4cm. 
https://www.youtube.com/watch?v=1mcHAp1SiyQ
(h) Un cuadrado de lado 5 cm.

(i) La bisectriz de un angulo de 60◦
https://www.youtube.com/watch?v=PC-piZFTcdA

34. ¿Que es un solido geométrico? Parte del espacio ocupado por un objeto físico.

35. ¿Que es una superficie? Es lo que separa a un objeto geométrico del resto del espacio.

36. ¿Que es una línea? Es lo que separa superficies adyacentes.

37. ¿Que es un punto? Es lo que separa lineas adyacentes.

38. ¿Que es un plano? Una superficie plana.

39. ¿Que es una línea recta? Es la línea mas simple.

40. ¿Como se denota una recta? Recta AB 

41. ¿Como se denota una semi-recta? Semi-recta 

42. ¿Como se denota un segmento? Segmento 

43. Traza una circunferencia y usando la notación correcta señala los siguientes elementos: radio, diámetro, cuerda, secante, segmento circular, sector circular. 

44. En cada uno de los siguientes casos calcula la longitud del arco: 

(a) r= 2 y α = 30◦ = 1.04
(b) r= 4 y α = 60◦ = 4.18
(c) r= 1.2 y α = 38◦ = 0.79
(d) r= 32 y α = 45◦ = 25.12
(e) r= 5 y α = 98◦ = 8.54
(f) r= 7 y α = 120◦ = 14.65
(g) r= 11y α = 270◦ = 51.81

45. ¿Que es una línea quebrada? Segmentos de recta que no están sobre una misma recta.
  
46. ¿Que es un polígono? Figura formada por una linea quebrada.


47. ¿Como se clasifican los polígonos según el numero de lados que tiene? triángulo, cuadrilátero, Pentágono, hexágono, heptágono, octágono, eneagono, decágono, endecágono, dodecágono, chiliagono (1000), etc


48. ¿Como se clasifican los polígonos según el tipo de ángulos? 

49. ¿Como se clasifican los polígonos según la longitud de sus lados? 
a) Regulares los lados miden lo mismo.
b) Irregulares la longitud de lados es distinta.

50. Traza un pentágono regular y usando la notación convenido señala los siguientes elementos: apotema, lado, radio, diagonal, vértice y ángulo interno.

51. En cada uno de los siguientes casos transforma el ángulo expresado en grados a radianes: 
(a) 10◦= 0.174 rad
(b) 15◦= 0.261 rad
(c) 30◦= 0.523 rad
(d) 45◦= 0.785 rad
(e) 60◦= 1.047 rad
(f) 75◦= 1.308 rad
(g) 90◦= 1.57 rad
(h) 180◦= 3.14 rad

52. en cada uno de los siguientes casos transforma el ángulo expresado en 

radianes a grados:
(a) 0.5 rad= 28.66º
(b) 0.75 rad= 42.99º
(c) 1rad= 57.32º
(d) 1.25 rad= 71.65º 
(e) 1.5 rad= 85.98º
(f) 2 rad= 114.64º
(g) 2.5 rad= 143.31º
(h) 3 rad= 171.97º

La geometria

Lineas paralelas

Las líneas paralelas son dos o más líneas que nunca se intersectan. 

Paralelas cortadas por una transversal

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces formaran ángulos 

correspondientes congruentes.

Ángulos entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal

Si intersectamos dos rectas paralelas por una transversal, obtendremos 8 ángulos, 4 en cada punto de intersección . 

  

Ángulos correspondientes

Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal son los ángulos que se ubican en las esquinas correspondientes y valen lo mismo.

Ángulos alternos externos

Son los que "fuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Son iguales entre sí; es decir miden lo mismo.

 

Ángulos alternos internos

Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Son iguales entre sí; es decir miden lo mismo.

El quinto postulado de Euclides

si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

1. La suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de las medidas de dos ángulos rectos.

2. Las rectas paralelas están a la misma distancia de un mismo punto

3. Por un punto exterior a una recta dada sólo cabe trazar una paralela. Esta formulación es la más conocida y es debida al matemático griego Proclo.

4. Dos rectas paralelas guardan entre sí una distancia finita.

5. Las rectas no equidistantes convergen en una dirección y divergen en la opuesta.

6. Todos los puntos equidistantes de una línea recta, situados a un lado determinado de ella, constituyen una línea recta.

7. Sobre una recta finita siempre se puede construir un triángulo semejante a un triángulo dado.

8. Existe un par de triángulos no congruentes, pero semejantes.

9. En todo cuadrilátero que contenga tres ángulos rectos, el cuarto ángulo también es recto.

10. Se puede construir un triángulo cuya área sea mayor que cualquier área dada.

11. Dados tres puntos no alineados, siempre será posible construir un círculo que pase por todos ellos.

12. No hay patrón métrico absoluto de longitud.

 Euclides presenta el anunciado como un axioma: su quinto postulado.

1. Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.

2. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.

3. Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia.

4. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.

5. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los menores que dos rectos.

Aplicaciones de la geometría en la ciencia y el arte

La geometría puede aplicarse para muchas cosas como: hacer planos para casas, hacer imágenes en una computadora o a mano, e incluso para imprimir con una impresora 3D. Aquí nos centraremos en las aplicaciones que tiene en la ciencia y el arte con algunas imágenes. Donde ejemplificamos los videojuegos (que están hechos a base de figuras geométricas), un tipo de arte que es el cubismo (donde observamos que los autores usan solo figuras geométricas para crear la pintura) y la reciente impresora que puede imprimir en 3 dimensiones (utiliza un programa de diseño basado en figuras geométricas para hacer el objeto en computadora y después imprimirlo en un objeto de 3 dimensiones).

Cubismo Picasso 

Cubismo, Juan Gris

Mario bros, Nintendo 64

Impresora 3D